永磁无刷直流电机磁阻转矩的解析计算方法
作者姓名： 王兴华, 励庆孚, 王曙鸿
作者单位： 西安交通大学电气工程学院
所属杂志：《工业控制计算机》杂志
摘 要：该文利用许-可变换，构造了考虑齿槽效应的等效气隙磁导函数，结合偏微分方程的解析算法，计算出等效气隙内任意半径上的气隙磁通密度分布，由此提出了一种永磁无刷直流电机磁阻转矩的解析计算方法，其计算结果与有限元计算结果对比，转矩波形基本吻合，证明此方法是正确的、可靠的；同时该方法可应用于磁极分段移位、齿面加辅助凹槽、移动相邻磁极等结构的磁阻转矩的计算，为永磁无刷直流电机设计和优化提供了基本分析手段。
关键词：永磁无刷电机；磁阻转矩；解析计算
1 引言
永磁电机的磁阻转矩是由于电机转动时定、转子之间气隙磁导发生变化引起的。该转矩会引起转速的波动，使电机产生振动和噪声，甚至引起共振，严重影响了电机的定位精度和伺服性能，因此国内外对此进行了大量的研究，提出了诸多方法，文献[1]提出用定子齿面加凹槽或磁极分段移位来消除磁阻转矩；文献[2,3]采用适当的极宽与槽节距比以抵消磁阻转矩；文献[3,4]提出移动相邻磁极的位置可以消除磁阻转矩的基波分量；文献[5,6]采用遗传算法对齿面上的凹槽尺寸进行优化。上述方法均是以有限元方法来分析计算磁阻转矩，从而提出相应措施减小磁阻转矩。但是有限元方法复杂的前处理过程及较长的计算时间在实际工程中不便采用，因此完全有必要研究一种磁阻转矩的解析计算方法，为工程设计和优化提供必要的基本分析手段。文献[7]提出了一种磁阻转矩的解析算法，但该方法中对齿槽及磁极的边沿效应采用等效磁通的方法进行近似，从而使计算值较实际磁阻转矩波形具有一定偏差，不能有效利用谐波平衡法来分析、消除磁阻转矩。本文采用气隙等效磁导和等效磁势分布的方法来精确考虑齿槽及磁极边缘磁场效应，利用能量虚位移法求解永磁电机的磁阻转矩，分析结果与有限元分析结果基本吻合，说明该分析方法是有效的、可行的。该方法可简捷、快速地分析计算磁极分段移位、齿面加辅助凹槽、移动相邻磁极等结构的磁阻转矩变化波形，为永磁电机设计和优化提供强有力的分析手段。
2 齿槽对气隙磁导的影响
永磁电机的磁阻转矩与电机齿槽的结构和尺寸有很大关系，准确考虑齿槽结构对电机气隙磁场的影响是分析和计算磁阻转矩的关键。
在永久磁钢表面式安装的永磁电机（以内转子电机为例）中，定子铁心表面开有若干个槽，转子铁心表面光滑。对于槽数较少的永磁电机，槽口宽与槽节距比值较小，可忽略相邻槽之间的影响；但对于槽数较多的永磁电机，相邻槽之间的影响较大，不能忽略。本文只对槽数较少的永磁电机进行讨论，故可由定子铁心单个槽时的物理模型作为电机单个槽的物理模型进行分析，如图1所示为转子铁心表面光滑、定子铁心单个槽时的物理模型，为便于分析作如下假设：
（1）定子铁心表面开槽，转子铁心表面光滑；
（2）槽深为无限深；
（3）铁心磁导率为无穷大，定、转子铁心表面均为等标量磁位面，一面为0，一面为Um；
（4）永磁材料退磁曲线为直线；
（5）永磁体以相同磁导率的材料填充。
如图1中，若定、转子铁心表面磁位差为Um时，利用许-可变换可求得永磁体、气隙和槽内区域任意点的磁通密度Br。由于空气、永磁体磁化特性为线性，所以该点磁通密度Br与定、转子铁心表面之间的磁位差Um呈正比关系，为讨论方便，不妨定义该比例系数为该点对应的等效磁导λ，即Br=Um.λ。
由文献[8]得在半径r处，单个槽时的气隙磁导为
对图1单槽时的物理模型进行许-可变换如图2所示，由文献[9]中的式（2-31）可得等效气隙和槽内任一点的磁通密度为：
式中 b0为槽口宽度；V值由文献[9]中式（2-23）来确定
忽略相邻槽之间的影响，则整个永磁电机的气隙磁导分布为周期函数，且周期为at。在极坐标下，以A相绕组轴线为坐标轴，将式（4）进行傅立叶分解得电机等效气隙内在半径r处的相对磁导分布函数为
由于永磁体相对磁导率ur近似为1，永磁电机等效气隙g＇=g+hm/ur较大，所以在如图2（a）所示的等效气隙和槽内相邻区域中，任意与y轴平行的直线上，不同y值上的各点的磁密幅值并不相同，故在如图1所示气隙和永磁体区域内，由式（5）计算出的不同半径r处的相对磁导分布函数是不同的。
3 永磁磁极在均匀气隙中的磁场
磁阻转矩的大小与气隙磁场大小和分布有关，要分析磁阻转矩必须准确计算出磁极的气隙磁场大小和分布，因此，本文利用偏微分方程的解析算法，求解永磁磁极气隙磁场的分布。
在极坐标下，永磁磁极磁场的物理模型如图3所示。假设定子表面光滑无齿槽，uFe=∞，在求解区域内有：
式中um为永磁材料的回复磁导率；M为磁化强度矢量；对于径向充磁M=Mrr,且Mr=Br/u0 。
永磁体磁化强度径向分量的分布如图4，用傅立叶级数展开得：
定解条件为
由定解条件解上述方程，得标量磁位表达式，进而得电机内磁密径向分量表达式。
在气隙中
4 磁阻转矩的求解
在不计铁心饱和时，永磁电机气隙内的实际磁场可等效为：永磁磁极在光滑气隙内产生的磁场与开槽引起的相对气隙磁导分布函数的乘积。
以A相绕组轴线为极坐标轴，当转子N极轴线位于γ角位置时，则电机内半径r处，径向气隙磁场的分布为：
式中 BrI(r,a,γ)为定子表面光滑，转子位于γ角位置时的气隙磁密径向分量；BrII(r,a,γ)为定子表面光滑，转子位于γ角位置时的永磁体内磁密径向分量；为定子开槽后半径r处气隙的相对磁导分布函数。
忽略铁心、槽内的磁场储能变化，转子在位置γ处时，电机中的磁场储能为
由此可以求解磁阻转矩的变化波形，根据此波形就可以定量分析磁阻转矩，并确定有效的减小措施。
5 移动相邻磁极时气隙磁场分布
为了消除磁阻转矩的基波分量，移动相邻磁极的位置可有效减小磁阻转矩[2]。如图5(a)所示，当S极从正常位置左移β角后，气隙磁导不变，永磁体磁化强度分布也向左移了β角位置。气隙磁场为不对称分布，此时可把气隙磁化强度分解为一个对称分量如图5(b)和一个非对称分量如图5(c)所示。
同理将各分量进行傅立叶分解并相加，则得合成气隙磁化强度：
6 解析计算结果分析比较
为了验证本解析计算方法的有效性，本文利用以上解析计算模型，对1台6极、9槽的永磁无刷直流电机的磁阻转矩进行计算分析，同时利用二维时步有限元计算程序，对样机进行磁阻转矩计算，两者结果进行比较如图6所示。其中图6(a)为气隙磁场分布波形，图中曲线的下凹对应定子槽引起的磁通密度的下降；由于齿边缘区域的聚磁效应，使有限元计算值在齿边缘出现一个磁密尖峰，从而使这一位置的有限元计算值比解析计算值略大。图6(b)为磁阻转矩波形，从图中可看出磁阻转矩为周期性的脉动转矩，由于齿边缘的聚磁效应使有限元计算转矩波形与解析计算转矩波形有一定偏差。
从图中可以看出，本文提出的计算模型与有限元计算结果基本吻合，可见此解析计算方法是有效可行的。同时从图6(b)可见样机的磁阻转矩与正弦波接近，即基波分量占有较大比重，可采用移动相邻磁极方法抵消基波分量，但其极弧系数已接近1，故此方法不适用，可采用齿面加辅助凹槽方法，由谐波平衡法可确定：齿面加2个辅助凹槽，凹槽宽与槽口相等。利用本文解析计算方法进行磁阻转矩解析计算，并与有限元计算结果比较如图7所示，可见齿面加两个辅助凹槽后，
图6(b)中的基波磁阻转矩被基本抵消，有效地减小了电机的磁阻转矩；由于齿边缘磁密尖峰被忽略，同时加辅助凹槽后相邻槽之间的影响程度增大，所以按单槽时的物理模型解析计算出的磁阻转矩比有限元计算值略小。
7 结论
有限元方法可以精确计算永磁电机的磁场分布和磁阻转矩，但是其复杂的前处理不便于工程实际应用。本文基于电磁场的分离变量法和许—克变换，建立考虑齿槽效应的永磁电机电磁场解析计算模型，简捷快速地求解气隙磁场分布及磁阻转矩波形，为分析电机磁阻转矩和确定相应的减小措施提供了可靠的依据。并且该模型可对电机齿面加附助凹槽、磁极分段移位、移动相邻磁极等多种方案进行分析计算，为电机的设计和优化提供了有力工具。
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